Dr. Martin Pfleiderer

Musikalische Akustik WS 2001/02

Schwingungen

Inhalt:
1. Periodische Schwingungen
2. Graphische Darstellung einer Schwingung
3. Mathematische Darstellung und Bestimmungsgrößen einer harmonischen Schwingung
4. Überlagerungen von harmonischen Schwingungen:
4.1. Überlagerung von Schwingungen mit gleicher Frequenz
4.2. Überlagerung von Schwingungen mit unterschiedlicher Frequenz
5. Zerlegung von periodischen Schwingungen (Fourier-Analyse)
6. Gedämpfte Schwingungen
7. Erzwungene Schwingungen: Resonanz
8. Selbststeuernde Schwingungen
9. Schwingende Systeme (Oszillatoren) als Schallquellen
9.1. Schwingende Saiten
9.2. Schwingende Membrane
9.3. Schwingende Stäbe und Platten
9.4. Schwingende Luftsäulen

Literatur:
Hans Borucki: Einführung in die Akustik, 3. Aufl., Mannheim, Wien, Zürich 1989.
Donald E. Hall: Musikalische Akustik. Ein Handbuch, Mainz 1997.
Juan G.Roederer: Physikalische und psychoakustische Grundlagen der Musik, 3. Aufl. Berlin/Heidelberg 1995.

1. Periodische Schwingungen

Ursache einer jeden Schallempfindung ist eine mechanische Schwingungen. Eine mechanische Schwingung stellt eine ständige Umwandlung von Bewegung (kinetischer Energie) in Lageenergie (potentielle Energie) und umgekehrt dar. Sie kommt durch die Einwirkung einer Rückstellkraft auf einen sich bewegenden Körper zustande, die stets zur Ruhelage des Körpers gerichtet ist.

Ein Vorgang in einem physikalischen System, bei dem eine oder mehrere physikalische Größen in der Art ab- und zunehmen, dass sie nach einem bestimmten Zeitabschnitte wieder den gleichen Wert annehmen, wird Schwingung genannt. Eine Schwingung entsteht dann, wenn bei der Störung des Gleichgewichtszustandes eines Systems Rückstellkräfte wirksam werden, die auf die Wiederherstellung des Gleichgewichtszustandes gerichtet sind.
Wenn die Größenänderung innerhalb der bestimmten Zeitabschnitte in gleicher Weise verläuft, spricht man von einer periodischen Schwingung.

Meist wirkt zu Beginn der periodischen Bewegung oder Schwingung ein Kraftimpuls (Bsp. Schlag des Hammers auf eine Klaviersaite); die Bewegung kommt dann allmählich aufgrund von Reibungsverlusten (Wärme) zur Ruhe. Oder es wird kontinuierlich Energie zugeführt (Bsp. Streichen einer Geigensaite).

Exkurs Physik:
Arbeit (W) im physikalischen Sinne wird dann verrichtet, wenn eine Kraft (F) über eine bestimmte Strecke (s) wirkt:
Ein Körper besitzt Energie, wenn an ihm Arbeit verrichtet wurde; Energie ist gespeicherte Arbeit oder aber potentielle Arbeit, die der Körper in Zukunft verrichten kann. Arbeit und Energie werden in derselben Einheit (Joule) gemessen.
Energie kann von einem Körper auf einen anderen Körper übertragen werden und außerdem ihre Erscheinungsform ändern, z.B.:
- Bewegung (kinetische Energie)
- Wärme
- Lageenergie (potentielle Energie)
Es gilt jedoch das fundamentale Naturgesetz der Energieerhaltung: Es kann keine Energie verloren gehen. Innerhalb eines Systems ändert sich die niemals die Gesamtsumme der vorhandenen Energie.

Uns interessieren hier ausschließlich Schwingungen, die auf einer periodischen Bewegung der schwingenden Körper (z. B. Saiten, Luftteilchen) beruhen.

Beispiele (vgl. Borucki, 13-19): Die Bewegung eines Fadenpendels lässt sich mit den Begriffen potentielle Energie (Lageenergie) und kinetische Energie (Bewegungsenergie) beschreiben.

NB: Auch Schallwellen kann man als eine Folge von Schwingungen der einzelnen Luftteilchen verstehen. Die Besonderheit von Wellen besteht darin, dass sich die Schwingungen über einen bestimmte Strecke, Fläche oder im Raum ausbreiten: die Schwingungen pflanzen sich im Trägermedium (Luft) fort.

2. Graphische Darstellung einer Schwingung

Bewegung ist Lageänderung in der Zeit. Periodische Bewegungen kann man auf zwei Arten mathematisch darstellen:
1. geometrisch vermittels einer graphischen Darstellung.
Bei der graphischen Aufzeichnung einer eindimensionalen Bewegung wählt man ein Koordinatensystem, bei dem auf der x-Achse der jeweilige Zeitpunkt t aufgetragen wird und auf der y-Achse der jeweilige Abstand zur Ruhelage (Elongation).

2. analytisch durch eine Funktionsgleichung der Form y = f (t) (vgl. nächster Abschnitt).

(Borucki Abb. 8 und Roederer Abb. 2.3.)

Möglichkeiten der graphischen Aufzeichnung einer Schwingung:
1. Kurvenschreiber: Wenn man an einem Pendel einen Stift befestigt und die Pendelbewegung auf einem senkrecht zur Schwingungsrichtung mit konstanter Geschwindigkeit durchlaufenden Papierstreifen aufzeichnet, so erhält man eine graphische Darstellung der Schwingung, nämlich der Auslenkung der Schwingung (y-Achse) als Funktion der Zeit (x-Achse). Diese Aufzeichnungsmethode eignet sich jedoch nicht zur Aufzeichnung akustischer Schwingungen, da diese sehr kurze Perioden haben.
2. Oszillograph: elektronische Sichtbarmachung einer Schwingung auf einem Bildschirm (vgl. Praktikum Akustik). Um einen periodischen Vorgang auf dem Bildschirm festzuhalten, muss die Horizontalbewegung mit der Periodendauer synchronisiert sein.

Bestimmungsgrößen einer Schwingung:
1. Elongation y: Der Abstand des schwingenden Körpers von der Ruhelage zu einem beliebigen Zeitpunkt der Schwingung. Man spricht bei den verschiedenen Elongationswerten einer periodischen auch von den verschieden Phasen der Schwingung.
2. Das Zeitintervall, in dem sich das Bewegungsmuster wiederholt wird Schwingungsdauer oder Periodendauer () genannt: Eine Periode ist die kürzeste Zeit, die bei einer vollständigen Schwingung verstreicht, ehe wieder ein identischer Schwingungszustand erreicht ist.
3. Amplitude (A): Die maximale Elongation einer Schwingung. Von der Amplitude einer Schwingung ist deren Lautstärkeeindruck abhängig.
4. Frequenz (f): Die Anzahl der vollständigen Schwingungen pro Zeiteinheit. Von der Frequenz einer Schwingung ist der Tonhöheneindruck abhängig.

1 Hz (Hertz) =

3. Mathematische Darstellung einer einfachen harmonischen Schwingung

Welches Bewegungsmuster ist nun die einfachste Schwingungsform?
Eine mechanische Schwingung (EHS), z.B. das Bewegungsmuster eines schwingenden Federpendels oder Fadenpendels, entspricht sehr genau dieser einfachsten Schwingungsform, der sog. einfachen harmonischen Schwingung.
(Eine harmonische Schwingung entsteht immer dann, wenn bei einem schwingenden Gebilde die Rückstellkraft immer zur Ruhelage gerichtet ist und dabei der Größe der momentanen Auslenkung proportional ist.)

Wir wollen nun die Elongation einer harmonischen Schwingung als mathematische Funktion darstellen. Die Elongation y ist eine Funktion der Zeit; d.h. zu jedem Zeitpunkt nimmt y einen anderen Wert an:

y = f (t)

Eine harmonische Schwingung lässt sich mathematisch durch die Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung auf den Kreisdurchmesser oder als eine Sinus-Funktion darstellen. Deshalb spricht man bei einer harmonischen Schwingung auch von einer sinusförmigen Bewegung oder Sinusschwingung.

Exkurs: Trigonometrie und Kreisfunktionen
1. In einem rechtwinkligen Dreieck unterscheidet man zwischen der Hypothenuse c (= lange Seite) und den beiden Katheden a, b (= kurze Seiten) im Dreieck.
2. Der Sinus eines Winkels ist die Gegenkathede geteilt durch Hypothenuse. Der Cosinus ist Ankathede geteilt durch Hypothenuse.
3. Zur mathematischen Darstellung der Winkel verwendet man in der Mathematik oftmals keine Darstellung in Grad, sondern das sog. Bogenmaß: Das Bogenmaß ist die Länge der Kreislinie eines Einheitskreises (mit dem Radius r = 1), die einem bestimmten Winkel am Kreismittelpunkt entspricht. Da der Gesamtumfang ergibt sich z.B. für 360° ein Bogenmaß von .
(Tabelle zur Umrechnung Grad in Bogenmaß).
3. Die Kreisfunktion ist festgelegt als:

, wobei man wieder von einem Einheitskreis (Radius r = 1) ausgeht.

[Beispiel Fahrradfahrer, vgl. Borucki Abb. 9-12]

Die Periodendauer ist die Zeit eines gesamten Kreisdurchlaufes. Die Größe / ist ein Maß für die Geschwindigkeit, mit der ein Punkt im Kreis umläuft. Sie heißt Winkelgeschwindigkeit oder Kreisfrequenz (ein Kreisumlauf pro Periodendauer bzw. Anzahl der Kreisumläufe pro Sekunde) und wird mit („omega“) bezeichnet.

D folg_:

Die Kreisfrequenz einer harmonischen Schwingung ist als das -fache ihrer Frequenz f. Kreisfrequenz und Frequenz sind also verschiedene Darstellungsformen des selben Sachverhaltes.

Da bei einer Schwingung die Periodendauer ekunden dauert, wird in einer bestimmten Zeit t einen bestimmten Winkel durchlaufen:

Schwingungen mit der selben Amplitude und der selben Frequenz können sich dennoch aufgrund ihrer Phasenwinkel bzw. , die sie zum selben Zeitpunkt besitzen, unterscheiden. Diese Eigenschaft wird Phase genannt. Der Unterschied zwischen und wird als Phasendifferenz (Phasenverschiebung) zweier Schwingungen bezeichnet.

[Roederer Abb. 2.4 und 2.5]

ist ein zum Zeitpunkt 0 eventuell bereits vorhandener Phasenwinkel, der Nullphasenwinkel bzw. Phasenkonstante)

Bei einer harmonischen Schwingung lässt sich demnach die Elongation y zu einem beliebigen Zeitpunkt t mit folgender Funktionsgleichung (Schwingungsgleichung) bestimmen:

oder

y = jeweilige Elongation
A = Amplitude der Schwingung (beim Einheitskreis gilt A = r = 1)
= Kreisfrequenz
= Nullphasenwinkel / Phasenkonstante

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionsgleichung einer Sinusschwingung:

4. Überlagerung von harmonischen Schwingungen

Die harmonische Schwingung ist ein seltener Spezialfall, denn meistens schwingt ein Körper in mehreren Schwingungsbewegungen gleichzeitig. Die Teilschwingungen überlagern sich zu einer komplizierten Gesamtbewegung.
Bei der Überlagerung von Schwingungen lassen sich mehrere Fälle unterscheiden, die wir uns zunächst jeweils graphisch veranschaulichen und sodann mathematisch exakt bestimmen wollen:

4.1. Die beiden Schwingungen besitzen die gleiche Frequenz

(1) Zwei harmonische Schwingungen mit gleicher Frequenz ( oder f₁ = f₂ = f), gleichem Nullphasenwinkel, aber unterschiedlicher Amplitude.

Die Amplitude der resultierenden Schwingung ist gleich der Summe der Amplitude der Teilschwingungen.

(2) Zwei harmonische Schwingungen mit gleicher Frequenz ( ), gleicher Amplitude, aber unterschiedlichem Nullphasenwinkel ( ). Für die resultierende Elongation y_r gilt:

Unter Verwendung der Formel ergibt sich:

Die Differenz wird auch Phasendifferen genannt. Man kann daher auch schreiben:

Die resultierende Schwingung hat folgende Eigenschaften:
1. Ihre Frequenz stimmt mit derjenigen der Teilschwingungen überein.
2. Ihr Nullphasenwinkel ist gleich dem arithmetischen Mittel des Nullphasenwinkels der Partialschwingungen.

3. Für die Amplitude der resultierenden Schwingung gilt:

Da die Zeit t in diesem Term nicht auftaucht, ist die resultierende Amplitude konstant und hängt in ihrer Größe von den Ausgangsamplituden und der Phasendifferenz ab.

Für 2, 4, 6 usw. wird

Das bedeutet: Die resultierende Amplitude ist am größten und zwar gleich der Summe der Amplituden der Teilschwingungen.

Für , 3, 5, 7usw. wird

Das bedeutet: Die resultierende Amplitude ist gleich null; die beiden Teilschwingungen löschen sich gegenseitig aus.

(3) Zwei harmonische Schwingungen mit gleicher Frequenz (), unterschiedlicher Amplitude und unterschiedlichem Nullphasenwinkel ().

[graphische Darstellung]

Obwohl sich die Überlagerung dieser Teilschwingungen graphisch leicht darstellen lässt, ist die mathematische Herleitung der Funktionsgleichung der resultierenden Schwingung recht kompliziert und übersteigt die Möglichkeiten dieser Veranstaltung.

4.2. Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen mit verschiedenen Frequenzen

Die resultierende Schwingung von zwei gleichgerichteten Schwingungen unterschiedlicher Frequenz besitzen oftmals einen recht verwickelten Verlauf, der sich zwar graphisch leicht, mathematisch jedoch nur schwer darstellen lässt. Eine Änderung der Phasendifferenz der beiden Teilschwingungen erzeugt u.U. erhebliche Veränderungen des Verlaufs der resultierenden Schwingung (vgl. graphisches Beispiel).

(1) Die beiden Teilfrequenzen stehen in einem ganzzahligen Verhältnis zueinander

Bei gleichem Nullphasenwinkel entstehen charakteristische Schwingungsformen:
- Bsp. Sägeszahnschwingung durch die Addition von Schwingungen, deren Frequenzen in ungeradzahligem Verhältnis zueinander stehen.
Tatsächlich schwingen die in der Musik verwendeten Oszillatoren gleichzeitig in mehreren Schwingungen, den sog. Eigenschwingungen oder Schwingungsmoden. Wichtig sind Schwingungsmoden, deren Frequenz ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz sind: die sog. harmonischen Obertöne.
Bsp. Erzeugung der Obertöne auf einer tiefen Klaviersaite durch Anschlagen höherer Tasten.

(2) Schwebungen: Die beiden Teilschwingungen besitzen leicht unterschiedliche Frequenzen

Überlagern sich zwei harmonische Schwingungen, deren Frequenzen f₁ und f₂ sich leicht unterscheiden, so entsteht eine resultierende Schwingung, deren Amplitude allerdings keinen festen Wert hat, sondern periodisch zwischen einem Minimalwert und einem Maximalwert schwankt; besitzen beide Frequenzen die selben Nullphasenwinkel und die selbe Amplitude, so ist der Minimalwert gleich Null.
Dieser Vorgang heißt Schwebung; die Frequenz der Amplitudenschwankung f_s wird als Schwebungsfrequenz bezeichnet, ihre Dauer als Schwebungsdauer T_s.

Um näheres über das Phänomen der Schwebung zu erfahren, leiten wir eine Schwebung mathematisch her. Dabei gehen wir der Einfachheit halber davon aus, dass die Amplituden gleich und Nullphasenwinkel der beiden Frequenzen jeweils gleich Null sind: A₁ = A₂
Die Schwingungsgleichungen der beiden Ausgangsschwingungen lauten dann:

und

Für die Elongation der resultierenden Schwingung gilt:

Unter Verwendung der Formelergibt sich:

Da gilt , folgt hieraus:

Schlussfolgerungen für die Eigenschaften einer Schwebung:
Die resultierende Schwingung ist eine harmonische Schwingung. Ihre Frequenz ist das arithmetisches Mittel der beiden Teilfrequenzen.

Die Amplitude der resultierenden Schwingung ist:

Da diese Gleichung die Zeit t erhält, schwankt die resultierende Amplitude in Form einer harmonischen Schwingung zwischen Null und 2 A. Die Frequenz der Schwingungsschwankung (Schwebungsfrequenz f_s) ist eigentlich, wie aus der Gleichung ersichtlich, die Hälfte der Differenz der beiden Teilschwingungen. (Die Cosinus-Funktion entspricht der Sinus-Funktion um eine Phase von 90° verschoben!) Für die Wahrnehmung zählt jedoch die doppelte Frequenz entscheidend und wird als Schwebungsfrequenz, was aus der Graphik (vgl. Hüllkurve) leicht zu ersehen ist.

5. Zerlegung von periodischen Schwingungen (Fourier-Transformation)

Überlagern einander mehrere einfache harmonische Schwingungen, deren Frequenzen in ganzzahligem Verhältnis zueinander stehen, so entsteht eine komplexe harmonische Schwingung, die je nach Phasenlage der verschiedenen Teilschwingungen ganz unterschiedlich aussehen kann.

Überlagert man Teilschwingungen, die alle denselben Nullphasenwinkel haben, so entstehen charakteristische Schwingungsformen, z.B. eine Sägezahnschwingung. Eine Sägezahnschwingung lässt sich relativ einfach mit elektronischen Mitteln synthetisieren.

Vgl. Abbildung 4.12. aus Roederer.

Der Klang der resultierenden komplexen Schwingung lässt sich auch in Form eines sog. Leistungsspektrums, eines sog. Spektrums darstellen. Dabei wird auf die x-Achse die Frequenz der Teilschwingungen (absolut oder logarithmisch) aufgetragen, auf der y-Achse deren relative Intensität (d.h. die Intensitätsanteile der Teilschwingungen am Gesamtklang).
NB: Die Schallintensität ist die Schallenergie, die in einer Sekunde durch eine Fläche von 1 cm² (in Ausbreitungsrichtung) hindurchtritt (s. unten, Schallfeldgrößen).

Bsp. eines Spektrums abgeleitet aus Abb. 4.12.

Jedoch lassen sich nur stationäre, d.h. zeitlich unveränderte Klänge in ein diskretes Spektrum auflösen, bei dem nur einzelne Frequenzen Intensitätswerte aufweisen.

Wie lässt sich nun aber eine gegebene komplexe harmonische Schwingung, deren Zustandekommen und damit deren Zusammensetzung unbekannt ist, physikalisch charakterisieren? Gibt es einen Weg, die Amplitude der jeweiligen Teilschwingungen eines komplexen periodischen Klanges zu ermitteln?. Man müsste versuchen, drei Eigenschaften der komplexen Schwingung zu bestimmen:
- die Frequenzen ihrer Teilschwingungen;
- die Amplituden der einzelnen Teilschwingungen, die für die Intensität und Lautheitsempfindung der Teilschwingungen entscheidend sind
- sowie den jeweiligen Nullphasenwinkel (Phase) der Teilschwingungen.

Eine Möglichkeit der Spektralanalyse periodischer Schwingungen geht auf den Mathematiker und Physiker Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) zurück. Fourier entwickelte folgende mathematische Reihe, die Fourier-Reihe, die sich folgendermaßen darstellen lässt:

(Eine zweite Möglichkeit der Darstellung der Fourier-Reihe bezieht den jeweiligen Nullphasenwinkel mit ein. Eine dritte Darstellungsmöglichkeit verwendet komplexe Zahlen.)

Die Bedeutung dieser Reihe für die Akustik stützt sich nun auf den Umstand, dass sich jede einfache harmonische Schwingung als die Addition einer Sinus-Schwingung und einer Cosinus-Schwingung derselben Frequenz darstellen lässt (vgl. graphische Darstellung).

Die resultierende Schwingung ist wiederum eine Sinus-Schwingung, die gegenüber der ursprünglichen Sinusschwingung um die Phase von 45° oder verschoben ist und eine um den Faktor 1,41 größere Amplitude besitzt. Man kann jedoch die Amplituden der Ausgangsschwingungen entsprechend kleiner wählen, sodass die resultierende Amplitude 1 ist. Der Nullphasenwinkeldieser Schwingung wird von dem Verhältnis der beiden Koeffizienten A und B bestimmt.

(In unserem Beispiel mit A=B wäre das 45°, da

Jeder Summand der Fourierreihe entspricht einer Sinusschwingung mit frei definierbarer Nullphase, der jedoch abhängig von den Amplitudenwerten A_k und B_k ist.

Das sog. Fourier-Theorem besagt nun, dass diese Reihe jede beliebige periodische Schwingungsformdarstellen kann. [Periodizität bedeutet, es gilt f (t) = f (t + 2 )]
Da die Kreisfrequenz ausschließlich mit ganzzahligen Faktoren n multipliziert wird, müssen die Teilschwingungen harmonische Schwingungen sein. D.h. die Fourier-Frequenzen sind ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz. (Sie kann u.U. auch sehr tief sein und außerhalb des menschlichen Hörbereichs liegen.)
Die Koeffizienten A_n und B_n heißen Fourier-Koeffizienten; sie sind die einzigen Unbekannten in der Funktion. Sie bestimmen die Phase und die Amplitude der Schwingung jedes Teilterms. Diese Koeffizienten zu bestimmen, ist das Ziel der Fourier-Analyse.

Fourier gelang es, die Koeffizienten durch Integrale zu bestimmen. Es gilt:

und

Für den Fall gilt z.B.:

und

Die Werte A und B entsprechen also der Fläche unter einer Kurve, die wiederum von der Funktion f(x) multipliziert mit einer Kosinus- bzw. Sinusfunktion gebildet wird.

(Mit Hilfe der komplexen Zahl i und der Eulerschen Zahl e lassen sich die beiden Gleichungen zu einer Gleichung zusammen fassen:

(Das Fourier-Theorem lässt sich auch auf Schallereignisse anwenden, die nicht periodisch sind - und zwar unter der Annahme einer unendlich langen Periode. Die Fourier-Reihe geht dann in ein Integral über.)

Die Fourier-Transformation liegt der Spektralanalyse in der digitalen Klangverarbeitung, wie sie inzwischen auch in einer Reihe von Audio-Software integriert ist, zugrunde. Mit Hilfe der Fourier-Transformation lassen sich Spektralanalysen digitalisierter Audio-Signale durchführen, mit denen die Sinusbestandteile (einfache harmonische Schwingungen) zusammengesetzter Schwingungen bestimmt werden können.

6. Gedämpfte Schwingungen

Theoretisch kommt eine mechanische Schwingung niemals zur Ruhe; potentielle Energie und kinetische Energie wandeln sich unaufhörlich ineinander um. In der Praxis nimmt bei mechanischen Schwingungen jedoch die Amplitude allmählich ab und der Körper kommt zur Ruhe. Die kinetische Energie wandelt sich dabei durch Reibung in Wärme- oder aber in Schallenergie um, die jeweils in den Raum abgestrahlt werden. Man spricht von einer gedämpften Schwingung. Die Dämpfung einer Schwingung ist umso größer, je mehr Energie pro Zeiteinheit an den Raum (oder an einen Resonator) abgegeben wird.

Die Amplitudenabnahme einer Schwingung kann verschiedene Formen annehmen. Die wichtigste Form ist die exponentielle Dämpfung. Dabei verringert sich die Amplitude in einem bestimmten Zeitraum jeweils um die Hälfte. Die Schnelligkeit bzw. Stärke der Dämpfung kann durch die Dauer dieser sog. Abkling-Halbzeit angegeben werden, deren Wert während des gesamten Abklingvorgangs konstant bleibt.

(vgl. Abb. 4.8 bei Roederer)

Viele Musikinstrumente haben eine charakteristische Abkling-Halbzeit, z.B. Klavier 0,4 sec. Es muss jedoch berücksichtigt werden, dass bei einem komplexen Klang die verschiedenen Teilschwingungen unterschiedlich schnell abklingen. D.h. die Klangfarbe ändert sich während des Abklingens auf eine charakteristische Weise.

Eine weitere Form der Dämpfung ist die Abnahme in Form einer geometrischen Reihe, wobei der Quotient zweier aufeinander folgender Amplituden gleich ist:

Die Konstante k ist ein Maß für die Stärke der Dämpfung und heißt Dämpfungsverhältnis. Je Größer k, umso rascher klingt die Schwingung ab.

7. Erzwungene Schwingungen / Resonanz

Das Klangspektrum einer schwingenden Gitarrentones weicht mitunter stark von dem Spektrum einer klingenden Saite (ohne Instrumentenkorpus) ab. Dies liegt daran, dass der Gitarrenkorpus Klänge frequenzabhängig verstärkt oder dämpft.

Auch der Korpus ist ein schwingungsfähiges System., das sich aus kompliziert schwingenden Platten zusammensetzt; außerdem schwingt die Luft innerhalb des Korpus.
Führt man einem schwingungsfähigen Gebilde einmalig Energie zu - z.B. einem Federpendel durch einen einmaligen Anstoß - so vollführt es eine Schwingung von einer ganz bestimmten Frequenz, die abhängig von der Rückstellkraft und der schwingenden Masse ist. Die Schwingung heißt Eigenschwingung des Systems, die Frequenz heißt Eigenfrequenz f_e.
Im Falle des schwingenden Instrumentenkorpus wird das schwingungsfähige Gebilde jedoch durch eine periodisch wirksame Kraft, den periodischen Schwingungen Saite, in Schwingung versetzt. Diese äußere Kraft heißt Anregung, ihre Frequenz Anregungsfrequenz f_a. Das durch eine äußere Kraft angeregte System heißt Resonator, dessen Schwingung erzwungene Schwingung. Die Gitarrensaite „erzwingt“ vermittels der minimalen Schwingung des Steges eine Schwingung des Korpus.

Resonanz nennt man die Schwingung eines Resonators, die dann entsteht, wenn die Frequenz einer anregenden Kraft relativ gut mit einer Eigenschwingung des Systems übereinstimmt, auf das die Kraft einwirkt. Eine Frequenz, bei der die Energieumsetzung besonders effektiv ist, nennt man Resonanzfrequenz des Resonators.

Das Resonanzphänomen lässt sich gut mit dem Beispiel eines schaukelnden Kindes veranschaulichen, das mit einer bestimmten Frequenz leicht angestoßen wird. Ist die Frequenz des „Anschubsens“ gut gewählt, d.h. entspricht sie der Frequenz der Schaukelbewegung - führt ein relativ geringer Kraftaufwand zum größtmöglichen Ergebnis.

Im Alltag lassen sich eine Reihe von Resonanzerscheinungen beobachten:
- Eine Vase auf dem Klavier beginnt nur bei einer bestimmten Klaviertaste zu klirren: Die Saite trifft die Eigenfrequenz der Vase.
- Anekdoten erzählen von Sängern, die durch ihren Gesang Gläser zum Zerspringen brachten.
- Autokarosserien dröhnen bei einer bestimmen Motordrehzahl ganz besonders.
- Einsturz von Brücken oder Häusern durch regelmäßiges Marschieren.
In all diesen Fällen wird durch die erregende Kraft eine bestimmte Eigenfrequenz des resonierenden Systems getroffen, wodurch große Effekte hervorgerufen werden.

Das Verhältnis von Anregungsfrequenz und resultierender Frequenz lässt sich in einem Schaubild als sog. Resonanzkurve darstellen. Hier wird die Intensität I verschiedener Resonanzfrequenzen R dargestellt, wobei zumeist die Intensität als Verhältnis zu einem Bezugssignal I_ref dargestellt wird (in dB).

Der kompliziert gebaute Korpus einer Geige, einer Gitarre oder der Resonanzboden eines Klaviers hat viele bevorzugte Eigenschwingungsfrequenzen; teilweise überlappen sich diese Eigenschwingungsordnungen. Entscheidend ist, dass bei vielen Musikinstrumenten die Resonanzkurve frequenzabhängig ist. D.h. unterschiedliche Frequenzen des anregenden Oszillators (z.B. einer Saite) erzwingen unterschiedlich starke Schwingungen beim Resonator.
Beim Geigenboden unterscheidet man z.B. folgende typischen Eigenschwingungsordnungen: Klopfton, Resonanz der Luft (ca. 280-300 Hz), Hauptresonanz des Holzes (ca. 500 Hz). vgl. Roederer Abb. 4.15.

Roederer Abb. 4.16.: Resonanzverhalten einer hypothetischen gezupften Saite und eines hypothetischen Resonanzbodens:
Die Resonanzkurve gibt an, bei welchen Frequenzen der Resonator dem primären Schwingungssystem (Saite) Energie pro Zeit (Leistung) entzieht. Im Beispiel wird der fünften Teilschwingung verhältnismäßig viel Energie entzogen. Dies hat zur Folge, dass dieser Teilton besonders schnell abklingen wird.
Das Resonanzspektrum (und damit der Klang) verändert sich zeitabhängig, da den einzelnen Partialtönen unterschiedlich schnell Energie entzogen wird.
NB: Würde die Saite gestrichen, so wäre die Energieversorgung auch jedes Teiltons gesichert und der Instrumentalklang relativ konstant.

Einen breiten Resonanzbereich, der Teilschwingungen verstärkt, nennt man Formant. Musikinstrumente besitzen, ähnlich wie die verschiedenen Vokale der menschlichen Sprache, charakteristische Formanten.

[Das Verhältnis von Anregungsfrequenz f_a zur Eigenfrequenz f_e hat großen Einfluss auf die Phase der erzwungenen Schwingung des Resonatorsystems. Bei f_a < f_e stimmen die Phasen von Erreger- und erzwungener Stimmung überein. Die Phase springt jedoch um einen Winkel von 180° sobald die Eigenfrequenz des Resonators erreicht ist und f_a > f_e wird.]

8. Selbststeuernde Schwingungen

Um eine möglichst ungedämpfte Schwingung eines Oszillators zu ermöglichen, muss dem System ständig neue Energie zugeführt werden. Die Energiezufuhr hat eine optimale Wirkung, wenn sie periodisch mit der Eigenfrequenz der Schallquelle erfolgt. Dies wird dann erreicht, wenn das schwingende System selbst die Steuerung über die Energiezufuhr übernimmt.
Dabei kann die Frequenz der Energiezufuhr entweder hauptsächlich vom Energieversorger (Bsp.: Geigenbogen) oder aber, wie bei den meisten Blasinstrumenten, hauptsächlich vom Resonator, in diesem Falle der Luftsäule, bestimmt werden.
Ein stabiler Schwingungszustand stellt sich immer dann ein, wenn möglichst viele Eigenfrequenzen des Resonators mit Frequenzen des anregenden Systems übereinstimmen.

Beispiel Blasinstrumente:
1. Der komplexe Anregungsmechanismus erzeugt eine komplexe periodische Schwingung, die sog. primäre Schwingung, mit einer bestimmten Grundfrequenz und einem bestimmten Spektrum, die vom mechanischen Verhalten z.B. des Klarinettenblättchens abhängt.
2. Die Grundfrequenz dieser primären Schwingung wird von den Resonanzeigenschaften der schwingenden Luftsäule bestimmt. Generell gilt: Das schwingende System, das weniger gedämpft ist (bei Blasinstrumenten ist das die Luftsäule) bestimmt die Schwingungsfrequenz. Nur die Größe der Schwingungsamplitude hängt direkt von der gesamten Energiezufuhr ab.
(Ein weiterer Faktor für den abgestrahlten Schall ist die Form und Verteilung der Fingerlöcher sowie die Form und Verteilung des Bechers.)
Bei Blasinstrumenten führt der kontinuierliche Luftstrom aus den Lungen der Bläser (oder des Blasebalgs) dem schwingenden System (Luftsäule) kontinuierlich Energie zu. Eine Art Ventilmechanismus steuert die Luftzufuhr dergestalt, dass sie periodisch zum günstigen Zeitpunkt der Luftsäulenschwingung erfolgt.

Eine Resonanzkurve erhält man, wenn man bei konstanter Amplitude der primären Schwingung (Anblasmechanismus) die verschiedenen Druckschwankungsamplituden der Luftsäule abhängig von der Frequenz aufträgt. Die entsprechende Resonanzkurven werden auch Eingangsimpedanz-Diagramme genannt. Sie wurden in der akustischen Forschung weitgehend experimentell ermittelt.

Roederer Abb. 4.24a und b:
- typische Reonanzkurven für zylindrische Luftsäulen (z.B. Klarinette) und kegelförmige Luftsäulen (z.B. Oboe).
- die Resonanzspitzen bei den zylindrischen Röhren liegen nur bei ungeraden ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz.
- beim Kegelstumpf sind die Resonanzspitzen asymmetrisch und anharmonisch.

(Vgl. Roederer S. 164f.)

9. Schwingende Systeme (Oszillatoren) als Schallquellen:

Schallquellen sind alle Körper (fest, flüssig oder gasförmig), die fähig sind, mechanische Schwingungen im hörbaren Frequenzbereich auszuführen. Ihre Schwingungen werden dann durch die Luft als Schallwellen (s. unten) zum Ohr weitergeleitet. Im Folgenden soll nur ein erster Überblick über die verschiedenen Typen Schallquellen, wie sie im musikalischen Bereich in Gebrauch sind, gegeben werden. Details folgen in den Referaten zur Instrumentenakustik.

9.1. Schwingende Saiten

Saiten müssen an beiden Enden fest eingespannt sein, um Schwingungen vollführen zu können. Die Schwingungen von Saiten setzen sich aus einer Reihe von harmonischen Einzelschwingungen (Schwingungsmoden) zusammen, die ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz sind.
[Bsp. Klavier: tiefe Taste still gedrückt, die Saite schwingt mit ihren Teiltonfrequenzen]
Die Grundfrequenz lässt sich aus der Saitenlänge, der Saitenspannung und dem Saitendurchmesser ermitteln.

Bei den Schwingungsmoden mit höherer Frequenz gibt es Punkte, bei denen die Saite in Ruhelage ist, die sog. Schwingungsknoten, und Punkte mit maximaler Auslenkung (Schwingungsbäuche).
Die Schwingungen von Saiten sind allerdings so schwach, dass sie auf Platten (bzw. Kästen) übertragen werden müssen, um hörbaren Schall in die Luft abstrahlen zu können. Dies geschieht z.B. bei Gitarren oder Geigen, indem das befestigte Ende der Saite (der Steg) leicht mit schwingt; diese Schwingung wird dann auf den Resonanzkörper übertragen. Obwohl die Auslenkung der Endpunkte nur sehr klein ist, sind die wirkenden Kräfte wegen der hohen Spannung der Saite sehr groß, sodass das Produkt aus Kraft mal Weg (Auslenkung) - also die Energie - sehr groß sein kann. Allerdings steigt durch diese Energieübertragung der Dämpfungsgrad der Saite, d.h. die Schwingung nimmt viel schneller ab.
Es gibt Saiteninstrumente, die nur eine einmalige Energiezufuhr durch einen Impuls erhalten: Klavier - Schlag mit dem Hammer - oder Gitarre (Zupfen). Und es gibt Saiteninstrumente, die eine stetige Energiezufuhr erhalten: Streichinstrumente, wobei die schwingende Saite selbst die periodische Energiezufuhr steuert.
Die Art des Impulses und dessen Ort auf der Saite bestimmt die Klangfarbe der schwingenden Saite. Deren Klang wird durch die Eigenschaften des Resonators weiter modifiziert (vgl. oben).

9.2. Schwingende Membrane

Wie Saiten besitzen Membrane keine Eigenelastizität und müssen deshalb an ihren Rändern fest eingespannt werden. Sie sind also das zweidimensionale Gegenstück zu den eindimensionalen Saiten.
Membrane können entweder kreisförmig auf und ab oder aber entlang dem Kreisdurchmesser schwingen. Man nennt die Linien, an denen die Membran bei einer bestimmten Schwingungsmode in Ruhelage bleibt, Schwingungsknotenlinien; es gibt Knotenkreise und Knotendurchmesser. Durch die Kombination von Knotenkreisen und Knotendurchmessern entstehen eine Reihe von Schwingungsmoden, die jeweils durch zwei Zahlen - die Anzahl von Knotendurchmesser (1. Zahl) und der Knotenkreise (2. Zahl) - gekennzeichnet werden.
(Bild 9.18 bei Hall, S. 181)
Die Frequenzen der Schwingungsmoden stehen allerdings in keinem harmonischen Verhältnis zueinander. Membrane besitzen ein anharmonisches Obertonspektrum. Dies kann jedoch durch den Bau des Resonanzkörpers verändert werden.
- Beispiel Pauke.

9.3. Schwingende Stäbe und Platten

Holz- und Metallplatten mit zwei freien Enden schwingen einerseits entlang der Längsachse auf und nieder (Transversalschwingungen), andererseits verdreht sich der Körper entlang der Längsachse (Torsionsschwingungen). Ihre Schwingungsmoden stehen in einem unharmonischen Verhältnis zueinander.
Schwingende Stäben sind das eindimensionale Gegenstück zu den schwingenden Platten.

Beim Xylophon werden die Holzstäbe an der Unterseite ausgehöhlt, was die Frequenzen der transversalen Schwingungsmoden vertieft und eine harmonische Abstimmung der Partialtöne ermöglicht.
Resonatoren aus Holz oder Metall erhöhen die Lautstärke, beschleunigen jedoch den Dämpfungsvorgang.

Das Schwingungsverhalten von Zimbeln und Glocken ähnelt dem Schwingungsverhalten kreisförmiger, in der Mitte befestigter Metallplatten. Ähnlich wie bei den schwingenden Membranen schwingen die Platten mit zwei Arten von Knotenlinien: Knotendurchmesser und Knotenkreislinien.
Bei Glocken können allerdings die Knotenkreislinien unterschiedlich liegen und zu unterschiedlichen Frequenzen führen (die Kennziffer der höheren Mode wird dann mit einem Kreuz versehen). Die Moden einer Glocke lassen sich durch Ausdünnen des Metalls an geeigneten Stellen verändern. Auf diese Weise werden Glocken gestimmt.

9.4. Schwingende Luftsäulen als Schallquellen

Bei schwingenden Luftsäulen wird die in einem Behälter eingeschlossene Luft zu Eigenschwingungen erregt. Man unterscheidet Luftsäulen, die
- beidseitig offen sind (offene Pfeife);
- an einem Ende offen sind (gedackte Pfeife);
- an beiden Enden geschlossen sind.
Außerdem kann man zwei grundlegende Formen von Luftsäulen (konisch, zylindrisch u.a.) sowie kubische Pfeifen (die in der Realität auch kugelförmig sein können, z.B. Helmholtzresonatoren) unterscheiden.

Bei Luftsäulen schwingen die Luftteilchen um die Ruhelage. Es dadurch entstehen periodische Luftdruckschwankungen die als Schall an die Umgebung weitergegeben werden.

Man kann zwei grundsätzlich verschieden Formen der Anregung der Luftsäule unterschieden:
- Ein kontinuierlicher Luftstrom trifft auf eine Schneide. Hier entstehen Luftwirbel mit regelmäßigen Druckschwankungen, durch die die Luftsäule in periodische Schwingungen erregt wird.
- Bei Zungenpfeifen werden dagegen elastische Blättchen (Membrane) zum Schwingen erregt.